Изменения
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Строка 5:
Строка 5: − + Строка 63:
Строка 63: − + Строка 79:
Строка 79: − + Строка 146:
Строка 146: − + + + +
перенос (арифметика) + →Обобщение на действительные числа: некоторые ориссные мысли под комментарием
!Число
!Число
!Запись<br>в ФСС
!Запись<br>в ФСС
![[#Использование в теории информации|Код<br>Фибоначчи]]
![[#В теории информации|Код<br>Фибоначчи]]
|-
|-
| align=right |0
| align=right |0
=== Обоснование ===
=== Обоснование ===
В основе лежит ''теорема [[Цеккендорф, Эдуар<!-- это не опечатка, имя французское! --Incnis Mrsi -->|Цеккендорфа]]'' — любое неотрицательное целое число представимо в виде суммы некоторого набора чисел Фибоначчи, не содержащего пары соседних чисел Фибоначчи. Причём представление такое единственно.
В основе лежит ''теорема [[Цекендорф, Эдуард|Цекендорфа]]''<ref>[http://www.goldenmuseum.com/1601Mathematics_rus.html Эдуард Цекендорф]</ref> — любое неотрицательное целое число представимо в виде суммы некоторого набора чисел Фибоначчи, не содержащего пары соседних чисел Фибоначчи. Причём представление такое единственно.
Доказательство существования легко провести [[математическая индукция|по индукции]]. Любое целое число <math>a\ge 1</math> попадёт в промежуток между двумя соседними числами Фибоначчи, то есть для некоторого <math>n\ge 2</math> верно неравенство: <math>F_n \le a < F_{n+1}</math>. Таким образом, <math>a = F_n + a'</math>, где <math>a'=a-F_n\ <\ F_{n-1}</math>, так что разложение числа <math>a'</math> уже не будет содержать слагаемого <math>F_{n-1}</math>.
Доказательство существования легко провести [[математическая индукция|по индукции]]. Любое целое число <math>a\ge 1</math> попадёт в промежуток между двумя соседними числами Фибоначчи, то есть для некоторого <math>n\ge 2</math> верно неравенство: <math>F_n \le a < F_{n+1}</math>. Таким образом, <math>a = F_n + a'</math>, где <math>a'=a-F_n\ <\ F_{n-1}</math>, так что разложение числа <math>a'</math> уже не будет содержать слагаемого <math>F_{n-1}</math>.
=== Арифметика ===
=== Арифметика ===
При сложении чисел в позиционных системах счисления приходится выполнять ''перенос'', то есть устранять последствия [[арифметическое переполнение|переполнения]] разряда. Например, в двоичной системе: <span style="background-color: rgb(255,255,51)">01</span> + <span style="background-color: rgb(255,255,51)">01</span> = <span style="background-color: rgb(255,255,51)">0<font color=red>2</font></span> = <span style="background-color: rgb(255,255,51)">10</span>. В фибоначчиевой системе дело обстоит намного сложнее. Во-первых, вес старших разрядов не является кратным весу разряда, из которого требуется перенос. При сложении двух единиц в одном разряде требуется перенос не только вправо, но и влево: <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0<font color=red>2</font>00</span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">1001</span>. При переносе в отсутствующие разряды ε<sub>1</sub> и ε<sub>0</sub> следует помнить, что F<sub>1</sub>=1=F<sub>2</sub> и F<sub>0</sub>=0. Во-вторых, требуется избавляться от соседних единиц: <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0<font color=red>11</font></span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">100</span>. Правило для раскрытия двоек является следствием этого равенства: <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0<font color=red>2</font>00</span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0100</span> + <span style="background-color: rgb(102,255,51)">00<font color=red>11</font></span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0<font color=red>11</font>1</span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">1001</span>.
При сложении чисел в позиционных системах счисления приходится выполнять [[перенос (арифметика)|перенос]], то есть устранять последствия переполнения разряда. Например, в двоичной системе: <span style="background-color: rgb(255,255,51)">01</span> + <span style="background-color: rgb(255,255,51)">01</span> = <span style="background-color: rgb(255,255,51)">0<font color=red>2</font></span> = <span style="background-color: rgb(255,255,51)">10</span>. В фибоначчиевой системе дело обстоит намного сложнее. Во-первых, вес старших разрядов не является кратным весу разряда, из которого требуется перенос. При сложении двух единиц в одном разряде требуется перенос не только вправо, но и влево: <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0<font color=red>2</font>00</span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">1001</span>. При переносе в отсутствующие разряды ε<sub>1</sub> и ε<sub>0</sub> следует помнить, что F<sub>1</sub>=1=F<sub>2</sub> и F<sub>0</sub>=0. Во-вторых, требуется избавляться от соседних единиц: <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0<font color=red>11</font></span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">100</span>. Правило для раскрытия двоек является следствием этого равенства: <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0<font color=red>2</font>00</span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0100</span> + <span style="background-color: rgb(102,255,51)">00<font color=red>11</font></span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">0<font color=red>11</font>1</span> = <span style="background-color: rgb(102,255,51)">1001</span>.
{{section-stub}}
{{section-stub}}
Аналогия между числами Фибоначчи и степенями золотого сечения основана на одинаковой форме тождеств:
Аналогия между числами Фибоначчи и степенями золотого сечения основана на одинаковой форме тождеств:
: <math>F_k = F_{k-1} + F_{k-2}\,,\ \varphi^k = \varphi^{k-1} + \varphi^{k-2}\,,</math>
: <math>F_k = F_{k-1} + F_{k-2}\,,\ \varphi^k = \varphi^{k-1} + \varphi^{k-2}\,,</math>
позволяющих устранение соседних единиц. Прямой связи между представлением натуральных чисел в системе золотого сечения и в фибоначчиевой не имеется.<!-- тут надо уточнить, на самом деле связь будет с некоторыми оговорками и с точностью до множителя √5 или что-то такое --Incnis Mrsi -->
позволяющих устранение соседних единиц. Прямой связи между представлением натуральных чисел в системе золотого сечения и в фибоначчиевой не имеется.<!--
Тут надо уточнить, на самом деле связь будет с некоторыми оговорками и с точностью до множителя √5 или что-то такое.
Думаю, что должна быть связь с формулой секцией ниже, поскольку то умножение действует по той же логике, что и перемножение чисел в Φ-системе.
--Incnis Mrsi -->
Правила сложения аналогичны показанным [[#Арифметика|выше]] с той поправкой, что перенос в сторону младших разрядов распространяется без ограничения. В данной системе счисления можно производить и умножение.
Правила сложения аналогичны показанным [[#Арифметика|выше]] с той поправкой, что перенос в сторону младших разрядов распространяется без ограничения. В данной системе счисления можно производить и умножение.