Фибоначчиева система счисления

Фибоначчиева система счисления — смешанная система счисления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8 и т.д.

Число	Запись в ФСС	Код Фибоначчи
0	0……0
F2=1	1	11
F3=2	10	011
F4=3	100	0011
4	101	1011
F5=5	1000	00011
6	1001	10011
7	1010	01011
F6=8	10000	000011
…
Fn-1	101010…	…0101011
Fn	10……00	00……011
Fn+1	10……01	10……011

Представление натуральных чисел

Любому неотрицательному целому числу $a = 0,\ 1,\ 2,\dots$ можно единственным образом представить через последовательность битов …ε_k…ε₄ε₃ε₂: $a = \sum_k \varepsilon_k F_k,\ \varepsilon_k = 0,1$, причём последовательность {ε_k} содержит лишь конечное число единиц, и не имеет пар соседних единиц: $\forall k\ge 2: (\varepsilon_k=1) \Rightarrow (\varepsilon_{k+1}=0)$. За исключением последнего свойства, данное представление аналогично двоичной системе счисления.

Обоснование

В основе лежит теорема Цеккендорфа — любое неотрицательное целое число представимо в виде суммы некоторого набора чисел Фибоначчи, не содержащего пары соседних чисел Фибоначчи. Причём представление такое единственно.

Доказательство существования легко провести по индукции. Любое целое число $a\ge 1$ попадёт в промежуток между двумя соседними числами Фибоначчи, то есть для некоторого $n\ge 2$ верно неравенство: $F_n \le a < F_{n+1}$. Таким образом, $a = F_n + a'$, где $a'=a-F_n\$, так что разложение числа $a'$ уже не будет содержать слагаемого $F_{n-1}$.

Использование

Юпана

Файл:Yupana 1.GIF

Юпана

Предполагают, что некоторые разновидности юпаны (абака инков) использовали фибоначчиеву систему счисления, чтобы минимизировать необходимое для вычислений число зёрен.

В теории информации

На основе фибоначчиевой системы счисления строится код (кодирование) Фибоначчи — универсальный код для натуральных чисел (1, 2, 3…), использующий последовательности битов. Поскольку комбинация 11 запрещена в Фибоначчиевой системы счисления, её можно использовать как маркер конца записи. Для составления кода Фибоначчи по записи числа в фибоначчиевой системе счисления следует переписать цифры в обратном порядке (так, что старшая единица оказывается последним символом) и приписать в конце ещё раз 1 (см. таблицу). То есть, кодовая последовательность имеет вид:

ε₂ε₃…ε_n1,

где n — номер самого старшего разряда с единицей.

Арифметика

При сложении чисел в позиционных системах счисления приходится выполнять перенос, то есть устранять последствия переполнения разряда. Например, в двоичной системе: 01 + 01 = 02 = 10. В фибоначчиевой системе дело обстоит намного сложнее. Во-первых, вес старших разрядов не является кратным весу разряда, из которого требуется перенос. При сложении двух единиц в одном разряде требуется перенос не только вправо, но и влево: 0200 = 1001. При переносе в отсутствующие разряды ε₁ и ε₀ следует помнить, что F₁=1=F₂ и F₀=0. Во-вторых, требуется избавляться от соседних единиц: 011 = 100. Правило для раскрытия двоек является следствием этого равенства: 0200 = 0100 + 0011 = 0111 = 1001.

Обобщение на действительные числа

Похожее устройство имеет позиционная система счисления для действительных чисел, основанием которой служит золотое сечение $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2$ — иррациональное число. Оказывается, что любое действительное число x из отрезка [0,1] допускает разложение в ряд через отрицательные степени золотого сечения: $$x = \sum_{k=-1}^{-\infty} \varepsilon_k \varphi^k,\ \varepsilon_k = 0,1\ ,$$ где {ε_k} обладает тем же свойством отсутствия соседних единиц. Коэффициенты находятся последовательным сравнением x с $\varphi^{-1}$ — золотым сечением отрезка [0,1], вычитанием $\varphi^{-1}$ (если ε_k=1) и умножением на $\varphi$. Из этого нетрудно видеть, что любое неотрицательное действительное число допускает разложение: $$a = \sum_{k=N-1}^{-\infty} \varepsilon_k \varphi^k\,,$$ где N таково, что $a < \varphi^N$. Разумеется, следует считать что $\varepsilon_k = 0$ для всех $k \ge N$.

Число	Представление через степени $\varphi$
1	1,
2	10,01
3	100,01
4	101,01
5	1000,1001
6	1010,0001
7	10000,0001
8	10001,0001
9	10010,0101
10	10100,0101
11	10101,0101
12	100000,101001
13	100010,001001
14	100100,001001

Эти формулы полностью аналогичны формулам для обычных позиционных систем с целыми основаниями. Оказывается, что любое неотрицательное целое число (и, более общо, всякий неотрицательный элемент кольца ${\mathbb Z}+\varphi{\mathbb Z}$) имеет представление лишь с конечным количеством единиц, то есть в виде конечной суммы неповторяющихся степеней золотого сечения.

Аналогия между числами Фибоначчи и степенями золотого сечения основана на одинаковой форме тождеств: $$F_k = F_{k-1} + F_{k-2}\,,\ \varphi^k = \varphi^{k-1} + \varphi^{k-2}\,,$$ позволяющих устранение соседних единиц. Прямой связи между представлением натуральных чисел в системе золотого сечения и в фибоначчиевой не имеется.

Правила сложения аналогичны показанным выше с той поправкой, что перенос в сторону младших разрядов распространяется без ограничения. В данной системе счисления можно производить и умножение.

Фибоначчиево умножение

Для целых чисел $a = \sum_k \varepsilon_k F_k\$ и $b = \sum_l \zeta_l F_l\$ можно определить «умножение» $$a\circ b = \sum_{k,l} \varepsilon_k \zeta_l F_{k+l},$$ которое аналогично умножению чисел в двоичной системе счисления.

Разумеется, данная операция не является настоящим умножением чисел, и выражается формулой: $$a\circ b = 3 a b - a \lfloor(b+1)\varphi^{-2}\rfloor - b \lfloor(a+1)\varphi^{-2}\rfloor,$$ где $\lfloor\ldots\rfloor$ — целая часть, $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение.

Эта операция обладает ассоциативностью, на которую впервые обратил внимание Дональд Кнут. Следует отметить, что другое «произведение» $\sum_{k,l} \varepsilon_k \zeta_l F_{k+l-2},$ отличающееся лишь сдвигом на два разряда, уже не является ассоциативным.

Источники

• Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. — Наука, 1978. — Т. 39. — (Популярные лекции по математике).
• «Коды Фибоначчи», факультет информационных технологий и программирования ИТМО
• «Код Фибоначчи» на Викизнании