Дельта-код Элиаса: различия между версиями

Версия от 07:03, 27 октября 2009

Дельта-код Элиаса — это универсальный код для кодирования положительных целых чисел, разработанный Питером Элиасом.

Кодирование

Алгоритм кодирования числа N:

Сосчитать $L$ — количество значащих битов в двоичном представлении числа $N$ .
Сосчитать $M$ — количество значащих битов в двоичном представлении числа $L$ .
Записать $M - 1$ нулей и одну единицу.
Дописать L₂ — $M - 1$ младших битов двоичного представления числа $L$ без старшей единицы ( $2^{M-1}$ ).
Дописать N₂ — $L - 1$ младших битов двоичного представления числа $N$ без старшей единицы ( $2^{L-1}$ ).

Иначе этот алгоритм можно описать так:

Сосчитать $L$ — количество значащих битов в двоичном представлении числа $N$ .
Закодировать $L$ с помощью гамма-кода Элиаса (γ(L)).
Дописать двоичное представление числа $N$ без старшей единицы.

То есть и в дельта-, и в гамма-коде Элиаса число кодируется в виде экспоненты L (разрядности числа — количества значащих битов) и мантиссы N₂ (собственно значащих битов), но в гамма-коде экспонента записывается в унарном виде, а в дельта-коде к ней ещё раз применяется гамма-кодирование.

Пример кодирования числа 10:

В двоичном представлении числа $N = 10$ (1010₂) 4 значащих бита ( $L = 4$ ).
В двоичном представлении числа $L = 4$ (100₂) 3 значащих бита ( $M = 3$ ).
Записываем $M-1 = 2$ нуля и одну единицу → 001.
Дописывем биты числа $L$ без старшей единицы → 00.
Дописывем биты числа $N$ без старшей единицы → 010.
Результат — 00100010.

Результаты кодирования первых 17 чисел (для сравнения показан также гамма-код):

N		L		M	Дельта-код		Длина, бит	Предполагаемая вероятность	Гамма-код		Длина, бит
N		L		M	γ(L)	N₂	Длина, бит	Предполагаемая вероятность	L	N₂	Длина, бит
1	1₂	1	1₂	1	1		1	1/2	1		1
2	10₂	2	10₂	2	01 0	0	4	1/16	01	0	3
3	11₂	2	10₂	2	01 0	1	4	1/16	01	1	3
4	100₂	3	11₂	2	01 1	00	5	1/32	001	00	5
5	101₂	3	11₂	2	01 1	01	5	1/32	001	01	5
6	110₂	3	11₂	2	01 1	10	5	1/32	001	10	5
7	111₂	3	11₂	2	01 1	11	5	1/32	001	11	5
8	1000₂	4	100₂	3	001 00	000	8	1/256	0001	000	7
9	1001₂	4	100₂	3	001 00	001	8	1/256	0001	001	7
10	1010₂	4	100₂	3	001 00	010	8	1/256	0001	010	7
11	1011₂	4	100₂	3	001 00	011	8	1/256	0001	011	7
12	1100₂	4	100₂	3	001 00	100	8	1/256	0001	100	7
13	1101₂	4	100₂	3	001 00	101	8	1/256	0001	101	7
14	1110₂	4	100₂	3	001 00	110	8	1/256	0001	110	7
15	1111₂	4	100₂	3	001 00	111	8	1/256	0001	111	7
16	10000₂	5	101₂	3	001 01	0000	9	1/512	00001	0000	9
17	10001₂	5	101₂	3	001 01	0001	9	1/512	00001	0001	9

С помощью дополнительной обработки исходных значений дельта-код можно использовать также для кодирования нулевых и отрицательных целых чисел (см.: Гамма-код Элиаса#Обобщение).

Декодирование

Алгоритм декодирования числа из дельта-кода Элиаса:

Сосчитать $M$ — количество нулей во входном потоке до первой единицы.
За единицей следуют $M$ младших битов числа $L$ , прочитать их и добавить к результату значение $2^M$ . Если биты $L$ во входном потоке записаны от старших к младшим, то первую единицу после ведущей серии нулей можно читать как часть двоичного представления числа $L$ , в этом случае добавлять $2^M$ отдельным шагом нет необходимости.
Следом идут $L - 1$ младших битов числа $N$ , прочитать их и добавить к результату значение $2^{L-1}$ .

Пример декодирования последовательности битов 001010001:

Прочитать из потока 001 и определить, что в начале 2 ведущих нуля ( $M = 2$ ).
Прочитать из потока следующие $M = 2$ бита → 01; это даёт $L = 2^M +$ 01₂ $= 4 + 1 = 5$ .
Прочитать из потока следующие $L-1 = 4$ бита → 0001; это даёт $N = 2^{L-1}$ + 0001₂ $= 16 + 1 = 17$ .

Эффективность

Можно видеть, что для чисел 2, 3, 8…15 дельта-код длиннее гамма-кода, для чисел 1, 4…7, 16…31 длина дельта-кода совпадает с длиной гамма-кода, для всех остальных чисел дельта-код короче гамма-кода. Соответственно, дельта-код тем менее выгоднее гамма-кода, чем неравномернее распределение вероятностей кодируемых чисел и чем более вероятны их значения при приближении к нулю.

См. также

Омега-код Элиаса

Литература

Д. Ватолин, А. Ратушняк, М. Смирнов, В. Юкин. Раздел 1. Методы сжатия без потерь. Глава 1. Кодирование источников данных без памяти. Разделение мантисс и экспонент // Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео. — М.: Диалог-МИФИ, 2002. — С. 23—24. — 384 с. — ISBN 5-86404-170-x.

en:Elias delta coding ko:엘리어스 델타 부호 ja:デルタ符号

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 # Сосчитать <math>M</math> — количество значащих битов в двоичном представлении числа <math>L</math>.
 # Записать <math>M - 1</math> нулей и одну единицу.
-# Записать L<sub>2</sub> — <math>M - 1</math> младших битов двоичного представления числа <math>L</math> без старшей единицы (<math>2^{M-1}</math>).
+# Дописать L<sub>2</sub> — <math>M - 1</math> младших битов двоичного представления числа <math>L</math> без старшей единицы (<math>2^{M-1}</math>).
-# Записать N<sub>2</sub> — <math>L - 1</math> младших битов двоичного представления числа <math>N</math> без старшей единицы (<math>2^{L-1}</math>).
+# Дописать N<sub>2</sub> — <math>L - 1</math> младших битов двоичного представления числа <math>N</math> без старшей единицы (<math>2^{L-1}</math>).
 Иначе этот алгоритм можно описать так:
@@ Строка 16: / Строка 16: @@
 То есть и в дельта-, и в гамма-коде Элиаса число кодируется в виде экспоненты L (разрядности числа — количества значащих битов) и мантиссы N<sub>2</sub> (собственно значащих битов), но в гамма-коде экспонента записывается в [[Унарное кодирование|унарном виде]], а в дельта-коде к ней ещё раз применяется гамма-кодирование.
-Результаты кодирования первых 17 чисел (для сравнения показан результат гамма-кодирования):
+Пример кодирования числа 10:
+# В двоичном представлении числа <math>N = 10</math> (1010<sub>2</sub>) 4 значащих бита (<math>L = 4</math>).
+# В двоичном представлении числа <math>L = 4</math> (100<sub>2</sub>) 3 значащих бита (<math>M = 3</math>).
+# Записываем <math>M-1 = 2</math> нуля и одну единицу → <code>001</code>.
+# Дописывем биты числа <math>L</math> без старшей единицы → <code>00</code>.
+# Дописывем биты числа <math>N</math> без старшей единицы → <code>010</code>.
+# Результат — <code>00100010</code>.
+Результаты кодирования первых 17 чисел (для сравнения показан также гамма-код):
 {| class="standard" align="center" style="text-align:right"
@@ Строка 64: / Строка 73: @@
 Алгоритм декодирования числа из дельта-кода Элиаса:
 # Сосчитать <math>M</math> — количество нулей во входном потоке до первой единицы.
-# За единицей следуют <math>M</math> младших битов числа <math>L</math>. Прочитать их и добавить к результату <math>2^M</math>. Если число <math>L</math> во входном потоке записано от старших битов к младшим, то первую единицу после ведущей серии нулей можно читать как часть двоичного представления числа <math>L</math>, в этом случае добавлять <math>2^M</math> отдельным шагом нет необходимости.
+# За единицей следуют <math>M</math> младших битов числа <math>L</math>, прочитать их и добавить к результату значение <math>2^M</math>. Если биты <math>L</math> во входном потоке записаны от старших к младшим, то первую единицу после ведущей серии нулей можно читать как часть двоичного представления числа <math>L</math>, в этом случае добавлять <math>2^M</math> отдельным шагом нет необходимости.
-# Следом идут <math>L - 1</math> младших битов числа <math>N</math>. Прочитать их и добавить к результату <math>2^{L-1}</math>.
+# Следом идут <math>L - 1</math> младших битов числа <math>N</math>, прочитать их и добавить к результату значение <math>2^{L-1}</math>.
-Пример декодирования для <tt>001010001</tt>:
+Пример декодирования последовательности битов <tt>001010001</tt>:
 # Прочитать из потока <tt>001</tt> и определить, что в начале 2 ведущих нуля (<math>M = 2</math>).